2SABCD— правильная четырехугольная пирамида, точка К — середина ребра DC, OE_|_ SK(Ee SK). Диагонали основания пирамиды пересекаются в точке О (рис. 20, а, б).
а)  Верно ли, что боковые ребра SA, SB, SC, SD одинаково наклонены к плоскости основания?
б)  Докажите, что OE_|_(SDC).

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты равна 4 см, апофемы — 5 см. Диагонали основания пересекаются в точке О. Вычислите длину высоты пирамиды CSOD, проведенной из вершины С.

4.   Каждое   ребро   правильной   четырехугольной   пирамиды SABCDравно а, диагонали ее основания пересекаются в точке   О.   Найдите   высоту пирамиды OSCD, проведенной из вершины О.

5.  SABCD— правильная четырехугольная пирамида, диагонали основания которой пересекаются в точке О, OT_|_.SC, Те SC(рис. 21, а, б).
а) Докажите, что SC_/_(BTD). б) Верно ли, что угол. BTD— линейный угол двугранного угла BSCD?
6. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и перпендикулярной боковому ребру пирамиды.

7. SABC— правильная треугольная пирамида, точка T—середина ребра AC, ВК _|_ST (рис. 22).
а) Докажите, что BK_|_(SAC)
б) Верно ли, что угол STB является линейным углом двугранного угла SACB?

8.  В  правильной  треугольной  пирамиде  сторона  основания равна а, высота равна Н. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани пирамиды.

9.  В правильной треугольной пирамиде длина бокового ребра равна 4 см, и оно составляет с основанием пирамиды угол в 60°. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярной противолежащему боковому ребру.

10.  В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, боковое ребро равно 2а. Найдите площадь сечения пи­рамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярной противолежащему боковому ребру.

11.  Основание пирамиды SABC— прямоугольный треугольник ABC(угол AСВ = 90°). Боковые ребра пирамиды равны друг другу. Вычислите длину бокового ребра пирамиды, если AВ — 10 см, а высота пирамиды равна 12 см.

12.  Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, основание которого равно 2 см, а высота, проведенная к его основанию, равна 3 см. Все боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 4 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.

13.  Основание пирамиды — треугольник, одна из сторон которого равна а, а угол, лежащий против нее, равен φ. Найдите высоту пирамиды, если каждое ее боковое ребро равно b.

14. Докажите, если в пирамиде все боковые грани образуют равные углы с ее основанием, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в многоугольник, который является основанием пирамиды.

15.  Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и острым углом 30°. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом в 45°. Вычислите длину высоты пирамиды.

16. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого длина основания равна 6 см, а боковой стороны — 5 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°.

17. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Вычислите длину высоты пирамиды.

18.  Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к ее основанию. Докажите, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

19.  Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с углом 30° и противолежащим ему катетом, равным а. Боковые ребра наклонены к ее основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.

20.  Основание   пирамиды —прямоугольный   треугольник   с углом в 60°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна а.

21.  Основание  пирамиды — равнобедренный  треугольник  с углом при основании в 30° и высотой, проведенной к основанию, равной а. Найдите высоту пирамиды, если боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.

22.  Основание  пирамиды — ромб, длина  стороны  которого равна 8 см, а острый угол равен 60°. Вычислите длину бокового ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см.

23.  Основание пирамиды — ромб со стороной 6 см и углом в 60°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и ее длина равна 3 см.
24.  Боковое   ребро   правильной  четырехугольной   пирамиды равно b и наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите апофему пирамиды.

25.  Основание пирамиды — параллелограмм, длины сторон которого равны 10 см и 18 см, а площадь равна 90 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, и ее длина равна 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

26.  Основание   пирамиды — параллелограмм  со  сторонами 10 см   и   8 см   и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а ее длина равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

27.  В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b, а высота равна Н. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания.

28.  В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, плоский угол при вершине равен 2φ, Найдите двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

29.  В правильной треугольной пирамиде сторона основания равнa a, высота равна Н. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

30.  В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 2а. Найдите двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

31.  Докажите, если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: а) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

32.  Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 5 см, а один из катетов 3 см. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты и параллельной ее основанию.

33.  Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее высоту в отношении 2 : 3 (считая от вершины). Вычислите площадь сечения, если она меньше площади основания на 42 см2.

34.  На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой 6 см  надо провести сечение,   параллельное основанию,  чтобы площадь сечения была в 4 раза меньше площади основания?

35.  Докажите, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

36.  Стороны  основания  правильной усеченной  треугольной пирамиды равны 6 см и 12 см, а ее высота 1 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

37.  Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований 10 см и 2 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.

38.  Вычислите длины сторон оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если ее высота 7 см, длина бокового ребра 9 см, а длина диагонали 11 см.

39.  В правильной усеченной четырехугольной пирамиде площади оснований равны S и Q (S< Q ), а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего основания угол в 45°. Определите площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.

40.  Стороны  оснований  правильной треугольной усеченной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим осно­ванием угол в 60°. Вычислите высоту пирамиды.

41.  Основания правильной усеченной пирамиды — квадраты со сторонами а и b (а > b). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Определите двугранные углы при сторонах основания.

42.  В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна Н, диагональ а, а двугранный угол при нижнем основании ее. Найдите стороны оснований пирамиды.

II

43.  Боковые грани треугольной пирамиды наклонены к ее основанию под углом φ. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь ее основания равна S.

44.  Определите  высоту правильной треугольной  пирамиды, боковая поверхность которой равна S, а боковая грань наклонена к ее основанию под углом 30°.

45.  Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Сечение, проведенное через одну из вершин основания, перпендикулярно противоположному боковому ребру и делит его пополам. Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно b.

46.  Площадь боковой грани правильной треугольной пирами­ды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной ее боковой грани.

47.  Через одно из ребер основания правильной треугольной пирамиды со стороной а проведена плоскость, перпендикулярная противолежащему боковому ребру и делящая это ребро в отношении 1 : 2 (считая от вершины). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

48.  Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при боковом ребре равен 2φ. Найдите площадь основания пирамиды.

49.  В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а. Угол между смежными боковыми гранями равен 2φ. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

50.  Основание пирамиды — трапеция, параллельные стороны которой равны а и 2а, а один из острых углов равен 60°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота a\2, a боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.

51.  Боковое  ребро  правильной  треугольной усеченной   пирамиды равно 14 см, а стороны оснований 8 см и 12 см. Вычислите площадь сечения плоскостью, проходящей через сторону большего   основания   и   противолежащую   ей   вершину другого  основания.