Четверг, 15.11.2018, 19:04
Приветствую Вас, Гость | RSS
Наш опрос
Как вы относитесь к тому, чтобы заняться сексом на рабочем месте?
Всего ответов: 36
Статистика

На сайте: 1
Гостей: 1
Зарегистрированных: 0
Форма входа
E-mail:
Пароль:
Главная » Статьи » Образование » Алгебра. Геометрия

Параллелограмм. Свойства параллелограмма
Определение 14. Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
параллелограмм
Свойства параллелограмма:
свойства Теорема 22. Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: РСАВ=РАСD, РАСВ=РDAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23. Противоположные углы параллелограмма равны: РА=РС и РВ=РD.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
Теорема 24. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС РОАD=РОСВ и РОDА=РОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

Признаки параллелограмма
Теорема 26. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть РА=РС и РВ=РD. Т.к. РА+РВ+РС+РD=360о, то РА+РВ=180о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.

В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат. Теорема 31. Площадь параллелограмма равна произведению стоны и проведенную к ней высоту.
Теорема 32. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон и синуса угла между ними.
Теорема 33. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними.

Теорема d2. (о сумме квадратов диагоналей параллелограмма): Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Доказательство: Пусть ABCD - данный параллелограмм. Тогда:
AB² + BC² + CD² + AD² = 2(AB² + BC²) =
= 2(AO² + BO² - 2AO·BO·cosAOB +
+ BO² + CO² - 2BO·CO·cosBOC) =
= 2(2·(AO² + BO² - AO·BO(cosAOB - cosAOB))) =
= 4(AO²+ BO²) = (2·AO)² + (2·BO)² = AC² + BD².
Что и требовалось доказать.
Категория: Алгебра. Геометрия | Добавил: Abuka (25.03.2010)
Просмотров: 5378 | Комментарии: 1 | Теги: что такое параллелограмм, Параллелограмм. Свойства параллелог | Рейтинг: 5.0/6
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Поиск